1930. aasta 3. augustil Kuressaares sündinud Õispuu õppis 1937-1941 Saaremaal Vätta ja Kuressaare algkoolis, keskhariduse sai Kuressaares ja Piiril ning Venemaal Kirovi oblastis Nagorskis. Õispuu küüditati Siberisse kaks korda.

Kõrghariduse omandas ta Permi Põllumajandusinstituudis mehhaniseerimise ning 1954-1960 Uurali Polütehnilises Instituudis ja Tallinna Polütehnilises Instituudis masinatehnoloogia erialal ning lõpetas viimase mehaanikainsenerina.

Aastal 1966 kaitses Õispuu TPI-s tehnikakandidaadi väitekirja teemal Eesti põlevkivi jahvatamine.

Ta töötas aastatel 1958-1962 Tallinnas tehases Ilmarine konstruktorina ning aastast 1965 Tallinna Tehnikaülikoolis soojusenergeetika kateedri assistendi ja vanemõpetajana, 1968-1970 energeetikateaduskonna prodekaanina, seejärel vanemteaduri ja dotsendina.

Leo Õispuu avaldas elu jooksul üle 135 teadusartikli, erialaseid raamatuid ning osales ka raamatute "Eesti ajalugu ärkamisajast kuni tänapäevani", "Poliitilised arreteerimised Eestis 1940-1988" ja "Nõukogude okupatsioonivõimu poliitilised arreteerimised Eestis" koostamises.

Ta oli Tallinna Tehnikaülikooli muinsuskaitse klubi aseesimees, Eesti Muinsuskaitse Seltsi, Rahvarinde, Eesti Õigusvastaselt Represseeritute Liidu Memento ja Eesti Liberaaldemokraatliku Partei asutajaid, Memento teabe- ja ajalootoimkonna aseesimees, Eesti Rahvuslik-demokraatlike Jõudude Koostöökoja liige ning Eesti Memento Liidu auesimees. Õispuu oli üliõpilaskorporatsiooni Vironia vilistlane.

1962. aastal sai Õispuu NSV Liidu rahvamajanduse näituse väikese hõbemedali, 1970 Nõukogude Eesti preemia (kollektiivi liikmena põlevkivi energeetika teaduslike aluste eest) ja 1998. aastal Eesti Punase Risti IV klassi ordeni.